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有关哈密_原理的几个更深入的间题

恒达娱乐拉氏量L的宗置与力学的因果性细心的人一定会注意到,迄今所有讨论中都默认了一个细节,即L中不含 有高于一阶的变数微商:L-LU,〗“),如果没有这一限制,几乎所有的论述都 会难以成立.其实,这是哈密顿原理的逻辑自洽性所要求的.因为按原理,运动由 始末位置qUOMhm 1的变分驻值条件所决定的方程完全确定.这里,我们 无须掩饰牛顿力学对后来发展的历史影响,即相信力学过程应当可用位形空间 中的一条曲线描述,而此曲线服从一个微分方程而按微分方程定解的性质, 这个方程只能是二阶的.由其两个初条件定解:初位置(位形)与初速度,等效于 两个起止点定解.这对应于乙=乙(<?,々,0的情况.相反,不论是[二“9“)或 L =    乂,0等都将与原理的叙述矛盾.
虽然如此,需要指出的是,这里还存在着微妙的差别.问题在于,尽管由两个 不同时刻的位形按哈密顿原理在很广泛的情况下可以决定一条路径,然而要借 助初条件17(0)与々(0)通过拉氏方程来确定一条路径对于大多数力学过程来说 实际上常常是不可能的.这是因为对于占大多数的不可积系统不存在解的解析 表达(包括级数与积分形式)的可能,因而原则上不可能以任意的精度来预言系 统的行为:毕竟初条件本身应当是个通过观测给定的具有有限精度的数据,而由 于大多数非线性系统(参见第六章)对初条件的“病态”的敏感性,初条件的有限 精度终将导致系统行为无可预测的偏离范围.在这个意义下,拉普拉斯式的机械 决定论——初始状态U,〗)精确决定终态到久远,即使在机械运动范围内也实 际上是不可能普遍成立的.相比之下,爱因斯坦“认为物理因果关系有完整链条 的信念”似乎更经得起考验,因为这里采取了一种几何观点,视力学过程为两个 世界点(位置与时间信息的总称)间的连续问题,而这正是哈密顿原理的相对论 推广形式所要求的.因果律必须以时间单向性为前提,而时间单向性的现代解释 又是基于不确定性——混沌的普遍性分析.结论就是,因果律不是哈密顿原理的 必然结果,而是其拉氏量的超二次型(从而导致力学方程的非线性)特性这一普

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